一、什么是数制

计算机内部只有二进制

计算机科学中经常使用的数制还有十进制、八进制和十六进制

进位计数制：简称数制

是按进位方式，进行计数的数制叫做进位计数制。

比如：逢十进一，是十进制

          逢二进一，是二进制

  逢R进一，是R进制

二、权值

日常生活中数数

1 2 3 4 5 6 7 8 9 -再往后数-> 10

10（读一零）

左数第二位的"1"，代表10个

30

左数第二位"3"，代表30个

同样的一个数字，在不同位置上，发挥的"重量"是不一样的（重量，是通俗的说法，术语叫权值）

1   -> 代表 1个

10  -> 一零中的1代表 10个

100 -> 一百中的1代表 100个

用术语来说，在不同位置上，发挥的"重量"叫"权值"

以十进制1234（一千二百三十四）为例

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 

+-------+-------+--------+-------+

 |     1    |     2      |     3      |     4    |

+-------+-------+--------+-------+  

 | 一千   |  一百    |     十     |   一     |

+         +           +            +          +

 |第四位 | 第三位 | 第二位  | 第一位 | 

+-------+-------+--------+-------+

第一位：权值是一        一 代表1          第一位数值（基数）是4，代表  4

第二位：权值是十        十代表10         第二位数值（基数）是3，代表  30

第三位：权值是一百   一百代表100     第三位数值（基数）是2，代表  200

第四位：权值是一千   一千代表1000   第四位数值（基数）是1，代表  1000

所以最终值是，1000 + 200 + 30 + 4 

继续归纳

第一位权值是1，      10的零次方，10^0

第二位权值是10，    10的一次方，10^1

第三位权值是100，  10的二次方，10^2

第四位权值是1000，10的三次方，10^3

PS: 常数项是零次方项。任何除0以外的数的0次方都是1 。如3的0次方是1，-1的0次方也是1，0的0次方没有意义。

那么回答问题

比如abcdef是十进制，十进制的abcdef的值是多少？

f*10^0  +  e*10^1  +  d*10^2  +  c*10^3  +  b*10^4  +  a*10^5

三、基数

在十进制中 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 在不同位置上，发挥的“权值”是不一样的

但是通过 0 ~ 9 这十个基础数，放在不同位置上，就有不同的权重，再组合起来，形成千变万化的数字。

因此0 ~ 9 这几个数我们叫做“基数”。

一个是“基数”，一个是“权值”这两个概念形成进制的核心。

在十进制中基数是0 ~ 9，十进制中最大的基数是9，因为到十就进位了，把1进到第二位来表示了。

在M进制中，基数的最大值是M - 1

四、八进制

八进制的1234，值是多少？

个位：权值是8^0 = 1     基数是4   基数4 * 权值1     = 4

十位：权值是8^1 = 8     基数是3   基数3 * 权值8     = 24

百位：权值是8^2 =64    基数是2   基数2 * 权值64   = 128

千位：权值是8^3=512   基数是1   基数1 * 权值512 = 512

计算出来对应十进制：4 + 24 + 128 + 512 = 668

PHP中在数字1234前面加一个0，就按照八进制输出（js里也是）

echo 01234;  // 668

023前面加了一个0，按八进制输出的是19

/**
 * 个位3：还是3
 * 十位2：权值是8，基数2 * 权值8 = 16
 * 转换为十进制：3 + 16 = 19
 *
 */

echo 023; // 19

八进制的26，转十进制是22

/**
 * 22岁用八进制说是26岁
 * 26 / 8 = 商3 余数 2
 * 2  / 8 = 商0 余数 2
 *
 */
 
echo 026; // 22

0239，前面有0代表是八进制，而9超出八进制最大基数，怎么来理解？

/**
 * 0239前面加0是八进制
 * 而八进制的基数要比进制数小1，8减1，最大基数是7
 * 现在冒出一个9，自然是违法的，
 *
 * 碰到这情况
 * PHP5.0 会把后面的9舍弃，打印结果还是19
 * PHP7.0 报错 Parse error: Invalid numeric literal in
 *
 */
 
echo 02399999; // PHP5输出 19

echo 0239;     // PHP7输出 Parse error: Invalid numeric literal in

五、十六进制

十六进制比十进制的基数要多，碰16才进位，以为这0 ~ 15都是单个的基数来表示的

十六进制：0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、  a、   b、   c、   d、   e、   f

                 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15

ab（十六进制）

左数第一个：权值是16^0 = 1，  基数是b，值是b * 1

左数第二位：权值是16^1 = 16，基数是a，值是a * 16 

数字前面加"0x"，按十六进制输出

十六进制的0x24，转成十进制是多少？

/**
 * 个位4，基数是4，权值是16^0， 基数4 * 权值1 = 4 
 * 十位2，基数是2，权值是16^1， 基数2 * 权值16 = 32
 * 32 + 4 = 36
 *
 */

echo 0x24; // 36

年龄按十六进制，0x1c是多少岁？

/**
 * 0x1c，0x按十六进制
 * 1代表16
 * c代表12
 * 16 + 12 = 28
 *
 */
$age = 0x1c;

echo $age; // 28

六、程序员的冷笑话

为什么，程序员分不清，圣诞节和万圣节？

圣诞节：12月25日，dec代表十二月，dec25

万圣节：10月31日，oct代表八月，oct31

进制的英语

Dinary               二进制

Decimal            十进制

Octonary          八进制

HexaDecimal   十六进制

在程序员眼里

dec25 --> 是十进制的25

oct31 --> 是八进制的31 --> 转成十进制是25（3*8 + 1 = 25）

七、二进制

二进制，基数只能是1，0两个

二进制的10（一零），相当于十进制的2

二进制1101

从左到右

左数第一位：基数是1，权值2^0=1，基数1 * 权值1 = 1

左数第二位：基数是0，权值2^1=2，基数0 * 权值2 = 0

左数第三位：基数是1，权值2^2=4，基数1 * 权值4 = 4

左数第四位：基数是1，权值2^3=8，基数1 * 权值8 = 8

转换成十进制：1 + 0 + 4 + 8 = 13

在PHP5.4后，引进了二进制的直接表示，数字前加0b

echo 0b1101;  // 13

PHP版本

echo PHP_VERSION;

八、进制练习题

1、李开复在一个节目出的题

某珠宝商，有31颗明月珍珠，光芒夺目

此商人呢，把珍珠分成了若干盒，每盒的珠子数量都不一样。

分完后，发现特别巧，

你想买1-31颗之间的珠子，

此商人，都能正好取出其中若干盒，正好能组成你要买的数量

思考：分成了几盒？每盒又各是多少颗珠子呢？

比如买15颗珍珠，正好把其中的三个盒子 或 两个盒子拿出来，

这三盒加在一起、或这二盒加一起，就正好是15颗。

比如买17颗，这四盒加在一起正好是17颗

总之，想买1至31之间数量的珠子，总能单拿出几盒正好组成想买数量。

要想解决这个题，就要用到进制的知识

计算机中有一门很重要的课叫"信息论"

一种东西，他的状态，能用来标识信息

比如，一只眼睛，能睁眼，能闭眼，能代表两种状态（态位）

想用来表示心情，最多能表示两种，因为态位有限，要么表示心情好，要么表示心情坏，

如果用两只眼睛，组合起来就能表示四种心情

比如：

0 1

1 0

1 1

0 0 

重点分析这句，正好取出其中若干盒

每盒有几种状态？

每盒有两种状态，要么取，要么不取，不能把盒子拆开

可以标记为，取就是:1，不取就是:0

因此，[1/0]    [1/0]    [1/0]    [1/0]    [1/0]

         权值16  权值8   权值4   权值2   权值1

用二进制来分析

左数第一盒权值是 1

左数第二盒权值是 2

左数第三盒权值是 4

左数第四盒权值是 8

左数第五盒权值是 16

取或者不取是1和0，代表二进制的两种态，盒子里面不同的数字1、2、4、8、16代表权值，我们就可以任意组合了

比如：

17 = 二进制的10001，取第五盒 + 第一盒

29 = 而进制的11101，取第五盒 + 第四盒 + 第三盒 + 第一盒 

29 / 2 = 14 余数1

14 / 2 = 7   余数0

7  / 2 = 3    余数1

3  / 2 = 1    余数1

1  / 2 = 0    余数1

29转换二进制1  1 1 0 1

                   16  8 4    1

2、还有一个题

8瓶水，其中一瓶有毒，拿小白鼠做实验

药效发挥，需要需要2个小时，才能让小白鼠死

只给两个小时时间

问，最少，需要几只老鼠？

分析：

需要2个小时，只给两个小时，推测出我们只有一次机会

两个小时之后，小白鼠只有两种状态：死，活

一只小白鼠有两种状态，2只小白鼠则有四种组合状态，N只小白鼠则有2^N次方组合状态

一共有8只小白鼠，最多需要八种状态，就能区分

一只老鼠2种状态，两只老鼠4种状态，三只老鼠8种状态

abcd -> abc死 c活

         ->

从理论上说三只老鼠足够了，把8个瓶子试出来了

4 2 1

3、第三题

有个商人，不小心把40磅的砝码摔碎了，摔成了4块，

欲哭无泪时发现，这4块砝码恰好可以组合能1 - 40的任意重量，

求这4块碎砝码的质量

提示：组合的意思不是单纯的相加，因为天平，你懂的。

          例如，2 = 3 - 1

          意思是没有2克的砝码，可以用3克减1克

分析：

某一块砝码可以放左边，也可以放右边，也可以不放

也就是说一个砝码表示，3种态位

可以标识为0 1 2

[0/1/2]  [0/1/2]  [0/1/2]  [0/1/2]

  权值1

以上可以组合出一个三进制数字来

想表示出连续的数字来，每个位上的权值，也要符合三进制的规律

权值是：27 9 3 1  

1 <--> 1

2 <--> 3 - 1

3 <--> 3

4 <--> 3 + 1

5 <--> 9 - 3 - 1

……

……

40 / 2 = 20 余数0

20 / 2 = 10 余数0

10 / 2 = 5     0

5  / 2 = 2     1

2  / 2 = 1     0

1  / 2 = 0     1

0010 1000

 32    8  

40 / 4 = 10  0

10 / 4 = 2   2

2  / 4 = 0   2

2   2   0

16  4   

32  8